积性函数系列(一):欧拉函数

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本出发是数论章节的优先章(因而,ExcA)。,次要引见、使宣誓优先位数论打中些许要紧模糊想法。、结局。
在牙垢王国,可积的作品精确地解释为f(ab)=f(a)f(b)F(ab)=f(a)f(b)的函数,在数论王国,即将到来的模糊想法细长地不相同。,仅在无符号完整的上精确地解释。,它启示了完整的的数不清的属性。。废物不多说,直奔学科。

为了区别普通意思上的函数,我们家精确地解释算术函数。:

精确地解释在财产无符号完整的上精确地解释的函数称为算术函数。。
在一并乘积效能中,不加阐明地,我们家不变的议论算术函数。。

精确地解释 算术函数ff假设使确信任性两个互质的无符号完整的mmnn,均有f(mn)=f(m)f(n)F(Mn)=f(m)f(n),就称ff它是单独合并函数(或乘法函数)。。任性两个无符号完整的mmnn,均有f(mn)=f(m)f(n)F(Mn)=f(m)f(n),它高水平完整可积函数。。

缓慢地找到无特征的的些许可积函数。,如f(n)=1,f(n)=n,f(n)=n2f(n)=1,f(n)=n,f(n)=n2,其实,财产幂函数都是可积函数。。

合并函数的精确地解释及算术的根本定理,缓慢地失掉上面的定理。:

定理 假设ff它是可积性的成果。,到任性无符号完整的nn素数幂使分解n=p1a1p2a2...psasn=p1a1p2a2…psas,因而有f(n)=f(p1a1)f(p2a2)...f(psas)f(n)=f(p1a1)f(p2 a2)…f(pas)
使宣誓:略,你可以应用算学诱发。。

好了,引见了完成或结束函数的根本模糊想法。,现代我们家来引见一下铅。,欧拉函数,它也称为欧拉。ϕϕ函数。望文生义,它率先由Euler沉思。。

精确地解释 欧拉函数ϕ(n)ϕ(n)精确地解释为不超过nn且和nn互质无符号完整的的标号。

上面我们家就来讨论欧拉函数在所有可能的点上的取值。缓慢地失掉素数。ppϕ(p)=p1ϕ(p)=p−1,这么面貌相反吗?

定理 假设pp是素数,这么ϕ(p)=p1ϕ(p)=p−1.正相反,假设pp它是无符号完整的并使确信。ϕ(p)=p1ϕ(p)=p−1,这么pp它是素数。。
使宣誓:后面的句子可以用互质来精确地解释。,我们家只使宣誓后一句。。若pp责备素数,或1或复合数。。而ϕ(1)=1ϕ(1)=1,但若pp是数积和,不得不有单独精神错乱0<d<p0,而pp非自宽容的,这使得pp互质数至多。p2p−2个,因而这是做不到的的。,故pp是素数。

我们家再往前走吧。,看欧拉函数在素数的幂下的取值。其实和次要权利pnpn责备互质。pp的下有多个分社的旅行社,一社区pn/p=pn1pn/p=pn−1个,故ϕ(pn)=pnpn1ϕ(pn)=pn−pn−1

定理 假设pp是素数,这么ϕ(pn)=pnpn1ϕ(pn)=pn−pn−1

接下来我们家将议论更多的普通情况。,关于这一点,我们家需求使宣誓欧拉函数它是可积性的成果。。定理的使宣誓依赖于同余的些许复杂属性。,这是本出发的优先篇文章。,因而嗨放量把需求用到的属性先给证一证。假设你明显的这些特点,你可以齐足跳行上面的互补的。,指示方向存取定理的使宣誓。

精确地解释 单独模mm完整留存下的系是一组完整的。,因而,无论哪些完整的都是即将到来的集中打中元素模块。mm同余。

论点 mm个模mm具有不相同完整的的完整的集创作单独模块。mm的�

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